无穷远奇点

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无穷远奇点(critical point at infinity)平面奇点的一种推广,用于研究平面系统的轨线在平面上无穷远处的性态.庞加莱(Poincare, (J. -)H.)把(.x ,y>平面上的系统。
简介
无穷远奇点(critical point at infinity)平面奇点的一种推广,用于研究平面系统的轨线在平面上无穷远处的性态.庞加莱(Poincare, (J. -)H.)把(.x ,y>平面上的系统
球面s上,后人就称此球面s为庞加莱球面.如下图取坐标系.在(X,Y,Z)空间中,(.z},y)平面上的点M可表示为(.x,y,l).取球心投影,即连结M与球心(0,0,0),其连线与球面S交于两点,取定下半球面的一点M,(X,Y,Z).这样就把((.x ,户平面上的点一一对应到庞加莱下半球面上,(.x,y)平面上的无穷远即对应于S的赤道:Xz+Yz=1,Z=0.为便于写出微分方程研究Z=。上各点邻近的性态,再把下半球面上的点投影到一个适当的铅直平面上,例如对不是y轴方向的无穷远点,可投影到平面X=1上OM与之相交于点Mz.在X=1上取其与球面的切点为坐标原点,u轴与Y轴平行,z轴与Z轴平行,M:的坐标为((u,z).易推出(x,y)与((u ,z)的变换关系
它在z=。上的奇点u=uo,z=。称为(1)的一个无穷远奇点.通过对(2)的奇点((uo,0)的分析,搞清楚了它的邻域内的轨线的性态,则它的两个半邻域就分别代表了(1)在(x,户平面上y=uo.x方向上的两端无穷远处的轨线性态.